По словам Сириуса — его посадил именно Крауч, причем по упрощенке — без суда и следствия.
Взяли его идущего над кучей трупов, да ещё и явно считавшего себя виновным, то есть сыворотка не поможет.

К тому же, его вполне могли оговорить те же Пожиратели — если кого из них спросили, с ними ли Блэк, кто откажется затащить в тюрьму врага?
А Пожиратели в Азкабане знали, что лорда к Поттерам привел Питер, как нам известно от того же Сириуса.

Что возвращает нас к вопросу, почему Снейп этого не рассказывал Дамблдору, или сам не знал? По его реакции видно только то, что Блэка он ненавидит.